BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
Hal yang menarik perhatian adalah bahwasanya ada banyak masalah ekonomi yang ternyata di dalam penyelesaiannya tersebut menggunakan cara-cara kalkulus. Tetapi dari pernyataan tersebut, masih ada suatu kejanggalan pada masyarakat, yang menjadi pertanyaan mereka adalah apakah benar bahwa kalkulus tersebut dapat diterapkan dalam bidang ekonomi? Oleh karena itu, saya bermaksud memberikan suatu pengetahuan kepada masyarakat pada umumnya dan mahasiswa pada khususnya agar mereka setidaknya dapat menambah wawasannya tentang kalkulus yang diterapkan dalam bidang ekonomi.
Banyak diantara materi kalkulus yang diterapkan dalam bidang ekonomi, diantaranya fungsi transenden yang terdiri dari fungsi logaritma dan fungsi eksponen, limit, diferensial fungsi sederhana, diferensial fungsi majemuk, dan integral. Namun, diantara banyaknya materi kalkulus yang dipergunakan dalam menyelesaikan masalah ekonomi tersebut, yang akan saya ambil sebagai materi makalah saya adalah mengenai integral, khususnya integral tak tentu.
B. INTEGRAL TAK TENTU
Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan antinya, yaitu F(x).
Bentuk umum integral dari f(x) adalah:
∫ f(x) dx = F(x) + k
dimana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tertentu. Dalam rumusan diatas, tanda ∫ adalah tanda integral; f(x) dx adalah diferensial dari F(x); f(x) adalah integral partikular; k adalah konstanta pengintegralan; dan F(x) + k merupakan fungsi asli atau fungsi asal. Proses pengintegralan disebut juga integrasi.
Dalam diferensial kita menemukan bahwa jika misalnya suatu fungsi asal dilambangkan dengan F(x) dan fungsi turunan dilambangkan dengan f(x), maka
Untuk fungsi asal : F(x) = x2 + 5
Fungsi turunannya : f(x) = d F(x) = 2x
dx
Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan f(x) diintegralkan, maka
∫ f(x)dx = F(x) + k = x2 + k
karena derivatif dari setiap konstanta adalah nol, maka dalam mengintegralkan setiap fungsi turuna konstanta k tetap dalam bentuk k. artinya nilai konstanta tersebut tidak dengan sendirinya bisa diisi dengan bilangan tertentu (misalnya 5, dalam contoh tadi), kecuali jika didalam soal memang sudan ditentukan nilai konstantanya. Karena ketidaktentuan nilai konstanta itulah maka bentuk integral yang merupakan kebaliokan dari diferensial dinamakan integral tak tentu.
v Kaidah-kaidah Integrasi Tak Tentu
Karena integrasi tak tentu pada dasarnya merupakan kebalikan dari diferansiasi, maka kaidah-kaidah integasi tek tentu akan dapat dipahami berdasarkan pengetahuan tentang kaidah-kaidah diferansiasi.
Kaidah 1. Formula pangkat
∫ xn dx = xn+1 + k n ≠ -1
n + 1
contoh:
1) ∫ x4 dx = x4+1 + k = x5 + k
4 + 1 5
2) ∫ 4 dx = 4x0+1 = 4x + k
0 + 1
Kaidah 2. Formula logaritmis
∫ 1/x dx = ln x + k
contoh:
1) ∫ 3/x dx = 3 ln x + k
2) ∫ 3 = ∫ 3 d(x + 1) + k = 3 ln (x + 1) + k
x + 1 x + 1
Kaidah 3. Formula eksponensial
∫ ex dx = ex + k
∫ eu du = eu + k u = f(x)
contoh:
1) ∫ ex+2 dx = ∫ ex+2 d(x + 2) = ex+2 + k
2) ∫ e2x dx = ½ ∫ e2x d(2x) = ½ ∫e2x + k
Kaidah 4. Formula penjumlahan
∫ { f(x) + g(x) } dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
= F(x) + G(x) + k
contoh:
1) ∫ (x4 + 3x2) dx = ∫ x4 dx + ∫ 3x2 dx = 0,2 x5 + x3 + k
2) ∫ (ex + 1/x) dx = ∫ ex dx + ∫ 1/x dx = ex + ln x + k
Kaidah 5. Formula perkalian
∫ nf(x)dx = n ∫ f(x)dx n ≠ 0
contoh:
1) ∫ 3x2 dx = 3 ∫ x2 dx = 3 ( x2+1 + k ) = x3 + k
2+1
2) ∫ -x3 dx = -∫ x3 dx = - ( x3+1 + k ) = ¼ x4 ±
3+1
Kaidah 6. Formula substitusi
∫ f(u) du dx = ∫ f(u) du = F(u) + k
dx
dimana u = g(x), dan ∫ du merupakan substitut bagi ∫ dx
contoh:
1) Selesaikanlah ∫ 6x (3x2 – 10)dx
Penyelesaian:
Dengan cara substitusi, misalkan u = 3x2 - 10; maka du/dx = 6x, atau dx = du/6x. sehingga:
∫ 6x (3x2 – 10)dx = ∫ 6x u du/6x = ∫ u du = u2 /2 + k
= (3x2 – 10)2 + k
2
= ½ (9x4 – 60x2 + 100) + k
= 4,5 x 4 - 30x2 +50 + k
= 4,5 x 4 - 30x2 + k
dimana k + 50 + k
BAB II
MASALAH DAN PEMBAHASAN
A. MASALAH
Dalam dunia ekonomi, integral tak tentu ini sering digunakan dalam menyelesaikan masalah fungsi biya, fungsi penerimaan, fungsi utilitas, fungsi produksi serta fungsi konsumsi dan tabungan. Marilah kita lihat masalah seperti apa yang mungkin akan timbul dari masing-masing fungsi tersebut.
fungsi biaya
Contoh kasus:
Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q2 - 6Q + 4. Carilah persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya.
fungsi penerimaan
Contoh kasus:
Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan jika penerimaan marjinalnya MR = 16 – 4Q
fungsi utilitas
Contoh kasus:
Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marjinalnya MU = 90 – 10Q
fungsi produksi
Contoh kasus:
Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh MP = 18x – 3x2 . carilah persamaa produk total dan produk rata-ratanya.
fungsi konsumsi dan tabungan
Contoh kasus:
carilah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat sebuah negara jika diketahui outonomous consumption-nya sebesar 30 milyar dan MPC = 0,8.
B. PEMBAHASAN
Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila fungsi marjinalnya diketahui. Karena fungsi marjinal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya, yakni integrasi, dapatlah dicari fungsi asal dari fungsi tersebut atau fungsi totalnya.
Fungsi biaya
Biaya total C = f(Q)
Biaya marjinal : MC = C1 = dC/dQ = f1 (Q)
Biaya total tak lain adalah integrasi dari niaya marjinal
C = ∫ MC dQ = ∫ f1 (Q) dQ
Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Biya total : C = ∫ MCdQ
= ∫ (3Q2 - 6Q + 4.) dQ
= Q3 - 3Q2 + 4Q + k
Biaya rata-rata : C/Q = Q3 - 3Q2 + 4Q + k/Q
Konstanta k tak lain adalah biaya tetap. Jika diketahui biaya tetap tersebut adalah 4, maka:
C = Q3 - 3Q2 + 4Q + 4
AC = Q3 - 3Q2 + 4Q + 4/Q
Fungsi Penerimaan
Penerimaan total : R = f(Q)
Penerimaan marjinal : MR = R1 = dR/dQ = f1 (Q)
Penerimaan total tak lain adalah integral dari penerimaan marjinal
R = ∫ MR dQ = ∫ f1 (Q) Dq
Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Penerimaan total : R = ∫ MR dQ
= ∫ (16 – 4Q) dQ
= 16Q – 2Q2
Penerimaan rata-rata : AR = R/Q = 16 – 2Q
Dalam persamaan penerimaan total konstanta k = 0, sebab penerimaan tidak akan ada jika tak ada barang yang dihasilkan atau terjual.
Fungsi Utilitas
Utilitas total : U = f(Q)
Utilitas marjinal : MU = U1 = dU/dQ = f1 (Q)
Utilitas total tak lain adalah integral dari utilitas marjinal
U = ∫ MU dQ = f1 (Q) dQ
Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Utilitas total: U = ∫ MU dQ
= ∫ (90 – 10Q) dQ
= 90Q – 5Q2
Seperti halnya produk total dan penerimaan total, disinipun konstanta k = 0, sebab tak ada kepuasan atau utilitas yang diperoleh seseorang jika tak ada barang yang dikonsumsi.
d. Fungsi Produksi
Produsi total :P = f(x) dimana.
P = keluaran; x = masukan
Produk marjinal : MP = P1 = dP/dX = f1 (x)
Produk total tak lain adalah integral dari produk marjinal
P = ∫ MPdX = ∫ f1 (x) dX
Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Produk total : P = ∫ MPdX
= ∫ (18x – 3x2 ) dX
= 9x2 – x3
Produk rata-rata : AP = p/x = 9x – x2
e. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan
Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyataka fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).
C = f(Y) = a + By
MPC = C 1 = dC/dY = f 1 (Y) = b
Karena Y = C + S, maka
S = g(y) = -a + (1 – b) Y
MPS = S1 = dS/dY = g 1 (Y) = (1 – b)
Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi da tabungan masing-masing adalah integral dari marginal propensity to consume dan marginal propensity to save.
C = ∫ MPC dY = F(Y) + k k ≡ a
S = ∫ MPS dY = G(Y) + k k ≡ -a
Konstanta k pada fungsi produksi da fungsi tabungan masing-masing adalah outonomous consumption dan outonomous saving.
Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
C = ∫ MPC dY = ∫ 0,8 Y + 30 milyar.
S = ∫ MPS dY = ∫ 0,2 Y – 30 milyar.
Atau S = Y – C = Y – (0,8 Y – 30 milyar) = 0,2Y – 30 milyar.
