RANCANGAN PEMBELAJARAN
Nama Sekolah : MI Negeri Pasar Kemis
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : V/I
Waktu : 2 x 35 Menit
Pendekatan : contekstual teaching learning
Metode : ekspositori, penemuan, tanya jawab, latihan, diskusi
Standar Kompetensi
Melakukan operasi hitung bilangan bulat dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar
Melakukan operasi hitung bilangan bulat termasuk pengginaan sifat-sifatnya pembulatan dan penaksiran
Indikator dan pencapaian hasil belajar
· Menggunakan sifat komutatif (pertukaran), asosiatif (pengelompokkan), dan distributif dalam penghitungan
· Membulatkan bilangan-bilangan dalam satuan, puluhan serta ratusan terdekat
· Menaksir hasil operasi hitung (menjumlahkan, mengurangkan, mengali, dan membagi) dua bilangan
Materi Pokok dan Uraian Materi Pokok
Operasi hitung bilangan bulat
Sifat komutatif, asosiatif dan distributif serta pembulatan dan penaksiran
Pengalaman Belajar
· Menjumlahkan kancing merah dan kancing putih kemudian ditukar urut-urutannya.
· Menjumlahkan bilangan terbesar lebih dahulu daripada bilangan yang keci dibandingkan dengan menjumlahkan bilangan terkecil dahulu baru kemudian bilangan yang besar.
· Mengalikan bilangan yang kecil dengan bilangan yang besar dibandingkan dengan mengalikan bilangan yang besar dengan bilangan yang kecil.
Sumber/Bahan/Alat
Handoko, Tri. 2006. Terampil Matematika 5. Jakarta: Yudhistira.
Kancing berwarna-warni
Skenario Pembelajaran
Mengabsen dan menanyakan kabar siswa (5 menit). Menyampaikan kepada siswa materi apa yang akan disampaikan (3 menit). Apersepsi atau mengingat kembali (10 menit) tentang macam-macam bilangan bulat yang telah dipelajari pada kelas sebelumnya. Memotivasi siswa (2 menit) dengan cara menyampaikan apa kegunaannya mempelajari materi ini.
Masing-masing siswa diminta intuk mengeluarkan 5 butir kancing berwarna merah dan 5 butir kancing berwarna putih serta 5 kancing berwarna hijau(3 menit). Kemudian siswa melakukan percobaan (25 menit) dengan menggunakan kancing-kancing tersebut. Misal:
1. 5 kancing merah + 4 kancing putih apakah hasilnya akan sama dengan penjumlahan 4 kancing merah + 5 kancing putih? (sifat komutatif)
2. pertama, jumlahkan 2 kancing merah dengan 3 kancing putih lalu jumlahkan lagi dengan kancing hijau sebanyak 4. apakah hasilnya akan sama dengan 2 kancing merah dijumlahkan dengan hasil penjumlahan 3 kancing putih + 4 kancing hijau?
Setelah itu, siswa diminta mengerjakan latihan seperti berikut (15 menit):
1. 20 + 23 = …
2. 23 + 20 = …
3. 41 + 55 = …
4. 55 + 41 = …
5. 72 + 87 = …
6. 87 + 72 = …
Berdasarkan percobaan-percobaan yang telah dilakukan, siswa diminta untuk berdiskusi (5 menit) dengan teman sebangkunya dan menemukan sendiri kesimpilan apa yang dapat diambil dari percobaan tersebut.
Guru menanyakan kepada beberapa siswa (3 menit) kesimpulan apa yang dapat ia ambil. Guru menyimpulkan hasil diskusi siswa (2 menit). Guru menutup pertemuan dan memberikan pekerjaan rumah (2 menit).
Penilaian
Penialain Kognitif
Guru memberikan postes berupai uraian, seperti:
1. 27 + 30 = … + …
2. 89 + 71 = … + …
3. 23 + (41 + 5) = (… + …) + …
4. (91 + 200) + 9 = … + (… + …)
5. 54 + (58 + 25) = (… + …) +…
Analisis Hasil Belajar dan Tindak Lanjut
Batas ketuntasan belajar siswa adalah bila siswa mencapai nilai 6. Bagi siswa yang belum tuntas harus diberikan remedial.
Minggu, 16 Desember 2007
APLIKASI INTEGRAL TAK TENTU DALAM BIDANG EKONOMI
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
Hal yang menarik perhatian adalah bahwasanya ada banyak masalah ekonomi yang ternyata di dalam penyelesaiannya tersebut menggunakan cara-cara kalkulus. Tetapi dari pernyataan tersebut, masih ada suatu kejanggalan pada masyarakat, yang menjadi pertanyaan mereka adalah apakah benar bahwa kalkulus tersebut dapat diterapkan dalam bidang ekonomi? Oleh karena itu, saya bermaksud memberikan suatu pengetahuan kepada masyarakat pada umumnya dan mahasiswa pada khususnya agar mereka setidaknya dapat menambah wawasannya tentang kalkulus yang diterapkan dalam bidang ekonomi.
Banyak diantara materi kalkulus yang diterapkan dalam bidang ekonomi, diantaranya fungsi transenden yang terdiri dari fungsi logaritma dan fungsi eksponen, limit, diferensial fungsi sederhana, diferensial fungsi majemuk, dan integral. Namun, diantara banyaknya materi kalkulus yang dipergunakan dalam menyelesaikan masalah ekonomi tersebut, yang akan saya ambil sebagai materi makalah saya adalah mengenai integral, khususnya integral tak tentu.
B. INTEGRAL TAK TENTU
Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan antinya, yaitu F(x).
Bentuk umum integral dari f(x) adalah:
∫ f(x) dx = F(x) + k
dimana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tertentu. Dalam rumusan diatas, tanda ∫ adalah tanda integral; f(x) dx adalah diferensial dari F(x); f(x) adalah integral partikular; k adalah konstanta pengintegralan; dan F(x) + k merupakan fungsi asli atau fungsi asal. Proses pengintegralan disebut juga integrasi.
Dalam diferensial kita menemukan bahwa jika misalnya suatu fungsi asal dilambangkan dengan F(x) dan fungsi turunan dilambangkan dengan f(x), maka
Untuk fungsi asal : F(x) = x2 + 5
Fungsi turunannya : f(x) = d F(x) = 2x
dx
Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan f(x) diintegralkan, maka
∫ f(x)dx = F(x) + k = x2 + k
karena derivatif dari setiap konstanta adalah nol, maka dalam mengintegralkan setiap fungsi turuna konstanta k tetap dalam bentuk k. artinya nilai konstanta tersebut tidak dengan sendirinya bisa diisi dengan bilangan tertentu (misalnya 5, dalam contoh tadi), kecuali jika didalam soal memang sudan ditentukan nilai konstantanya. Karena ketidaktentuan nilai konstanta itulah maka bentuk integral yang merupakan kebaliokan dari diferensial dinamakan integral tak tentu.
v Kaidah-kaidah Integrasi Tak Tentu
Karena integrasi tak tentu pada dasarnya merupakan kebalikan dari diferansiasi, maka kaidah-kaidah integasi tek tentu akan dapat dipahami berdasarkan pengetahuan tentang kaidah-kaidah diferansiasi.
Kaidah 1. Formula pangkat
∫ xn dx = xn+1 + k n ≠ -1
n + 1
contoh:
1) ∫ x4 dx = x4+1 + k = x5 + k
4 + 1 5
2) ∫ 4 dx = 4x0+1 = 4x + k
0 + 1
Kaidah 2. Formula logaritmis
∫ 1/x dx = ln x + k
contoh:
1) ∫ 3/x dx = 3 ln x + k
2) ∫ 3 = ∫ 3 d(x + 1) + k = 3 ln (x + 1) + k
x + 1 x + 1
Kaidah 3. Formula eksponensial
∫ ex dx = ex + k
∫ eu du = eu + k u = f(x)
contoh:
1) ∫ ex+2 dx = ∫ ex+2 d(x + 2) = ex+2 + k
2) ∫ e2x dx = ½ ∫ e2x d(2x) = ½ ∫e2x + k
Kaidah 4. Formula penjumlahan
∫ { f(x) + g(x) } dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
= F(x) + G(x) + k
contoh:
1) ∫ (x4 + 3x2) dx = ∫ x4 dx + ∫ 3x2 dx = 0,2 x5 + x3 + k
2) ∫ (ex + 1/x) dx = ∫ ex dx + ∫ 1/x dx = ex + ln x + k
Kaidah 5. Formula perkalian
∫ nf(x)dx = n ∫ f(x)dx n ≠ 0
contoh:
1) ∫ 3x2 dx = 3 ∫ x2 dx = 3 ( x2+1 + k ) = x3 + k
2+1
2) ∫ -x3 dx = -∫ x3 dx = - ( x3+1 + k ) = ¼ x4 ±
3+1
Kaidah 6. Formula substitusi
∫ f(u) du dx = ∫ f(u) du = F(u) + k
dx
dimana u = g(x), dan ∫ du merupakan substitut bagi ∫ dx
contoh:
1) Selesaikanlah ∫ 6x (3x2 – 10)dx
Penyelesaian:
Dengan cara substitusi, misalkan u = 3x2 - 10; maka du/dx = 6x, atau dx = du/6x. sehingga:
∫ 6x (3x2 – 10)dx = ∫ 6x u du/6x = ∫ u du = u2 /2 + k
= (3x2 – 10)2 + k
2
= ½ (9x4 – 60x2 + 100) + k
= 4,5 x 4 - 30x2 +50 + k
= 4,5 x 4 - 30x2 + k
dimana k + 50 + k
BAB II
MASALAH DAN PEMBAHASAN
A. MASALAH
Dalam dunia ekonomi, integral tak tentu ini sering digunakan dalam menyelesaikan masalah fungsi biya, fungsi penerimaan, fungsi utilitas, fungsi produksi serta fungsi konsumsi dan tabungan. Marilah kita lihat masalah seperti apa yang mungkin akan timbul dari masing-masing fungsi tersebut.
fungsi biaya
Contoh kasus:
Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q2 - 6Q + 4. Carilah persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya.
fungsi penerimaan
Contoh kasus:
Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan jika penerimaan marjinalnya MR = 16 – 4Q
fungsi utilitas
Contoh kasus:
Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marjinalnya MU = 90 – 10Q
fungsi produksi
Contoh kasus:
Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh MP = 18x – 3x2 . carilah persamaa produk total dan produk rata-ratanya.
fungsi konsumsi dan tabungan
Contoh kasus:
carilah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat sebuah negara jika diketahui outonomous consumption-nya sebesar 30 milyar dan MPC = 0,8.
B. PEMBAHASAN
Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila fungsi marjinalnya diketahui. Karena fungsi marjinal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya, yakni integrasi, dapatlah dicari fungsi asal dari fungsi tersebut atau fungsi totalnya.
Fungsi biaya
Biaya total C = f(Q)
Biaya marjinal : MC = C1 = dC/dQ = f1 (Q)
Biaya total tak lain adalah integrasi dari niaya marjinal
C = ∫ MC dQ = ∫ f1 (Q) dQ
Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Biya total : C = ∫ MCdQ
= ∫ (3Q2 - 6Q + 4.) dQ
= Q3 - 3Q2 + 4Q + k
Biaya rata-rata : C/Q = Q3 - 3Q2 + 4Q + k/Q
Konstanta k tak lain adalah biaya tetap. Jika diketahui biaya tetap tersebut adalah 4, maka:
C = Q3 - 3Q2 + 4Q + 4
AC = Q3 - 3Q2 + 4Q + 4/Q
Fungsi Penerimaan
Penerimaan total : R = f(Q)
Penerimaan marjinal : MR = R1 = dR/dQ = f1 (Q)
Penerimaan total tak lain adalah integral dari penerimaan marjinal
R = ∫ MR dQ = ∫ f1 (Q) Dq
Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Penerimaan total : R = ∫ MR dQ
= ∫ (16 – 4Q) dQ
= 16Q – 2Q2
Penerimaan rata-rata : AR = R/Q = 16 – 2Q
Dalam persamaan penerimaan total konstanta k = 0, sebab penerimaan tidak akan ada jika tak ada barang yang dihasilkan atau terjual.
Fungsi Utilitas
Utilitas total : U = f(Q)
Utilitas marjinal : MU = U1 = dU/dQ = f1 (Q)
Utilitas total tak lain adalah integral dari utilitas marjinal
U = ∫ MU dQ = f1 (Q) dQ
Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Utilitas total: U = ∫ MU dQ
= ∫ (90 – 10Q) dQ
= 90Q – 5Q2
Seperti halnya produk total dan penerimaan total, disinipun konstanta k = 0, sebab tak ada kepuasan atau utilitas yang diperoleh seseorang jika tak ada barang yang dikonsumsi.
d. Fungsi Produksi
Produsi total :P = f(x) dimana.
P = keluaran; x = masukan
Produk marjinal : MP = P1 = dP/dX = f1 (x)
Produk total tak lain adalah integral dari produk marjinal
P = ∫ MPdX = ∫ f1 (x) dX
Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Produk total : P = ∫ MPdX
= ∫ (18x – 3x2 ) dX
= 9x2 – x3
Produk rata-rata : AP = p/x = 9x – x2
e. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan
Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyataka fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).
C = f(Y) = a + By
MPC = C 1 = dC/dY = f 1 (Y) = b
Karena Y = C + S, maka
S = g(y) = -a + (1 – b) Y
MPS = S1 = dS/dY = g 1 (Y) = (1 – b)
Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi da tabungan masing-masing adalah integral dari marginal propensity to consume dan marginal propensity to save.
C = ∫ MPC dY = F(Y) + k k ≡ a
S = ∫ MPS dY = G(Y) + k k ≡ -a
Konstanta k pada fungsi produksi da fungsi tabungan masing-masing adalah outonomous consumption dan outonomous saving.
Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
C = ∫ MPC dY = ∫ 0,8 Y + 30 milyar.
S = ∫ MPS dY = ∫ 0,2 Y – 30 milyar.
Atau S = Y – C = Y – (0,8 Y – 30 milyar) = 0,2Y – 30 milyar.
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
Hal yang menarik perhatian adalah bahwasanya ada banyak masalah ekonomi yang ternyata di dalam penyelesaiannya tersebut menggunakan cara-cara kalkulus. Tetapi dari pernyataan tersebut, masih ada suatu kejanggalan pada masyarakat, yang menjadi pertanyaan mereka adalah apakah benar bahwa kalkulus tersebut dapat diterapkan dalam bidang ekonomi? Oleh karena itu, saya bermaksud memberikan suatu pengetahuan kepada masyarakat pada umumnya dan mahasiswa pada khususnya agar mereka setidaknya dapat menambah wawasannya tentang kalkulus yang diterapkan dalam bidang ekonomi.
Banyak diantara materi kalkulus yang diterapkan dalam bidang ekonomi, diantaranya fungsi transenden yang terdiri dari fungsi logaritma dan fungsi eksponen, limit, diferensial fungsi sederhana, diferensial fungsi majemuk, dan integral. Namun, diantara banyaknya materi kalkulus yang dipergunakan dalam menyelesaikan masalah ekonomi tersebut, yang akan saya ambil sebagai materi makalah saya adalah mengenai integral, khususnya integral tak tentu.
B. INTEGRAL TAK TENTU
Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan antinya, yaitu F(x).
Bentuk umum integral dari f(x) adalah:
∫ f(x) dx = F(x) + k
dimana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tertentu. Dalam rumusan diatas, tanda ∫ adalah tanda integral; f(x) dx adalah diferensial dari F(x); f(x) adalah integral partikular; k adalah konstanta pengintegralan; dan F(x) + k merupakan fungsi asli atau fungsi asal. Proses pengintegralan disebut juga integrasi.
Dalam diferensial kita menemukan bahwa jika misalnya suatu fungsi asal dilambangkan dengan F(x) dan fungsi turunan dilambangkan dengan f(x), maka
Untuk fungsi asal : F(x) = x2 + 5
Fungsi turunannya : f(x) = d F(x) = 2x
dx
Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan f(x) diintegralkan, maka
∫ f(x)dx = F(x) + k = x2 + k
karena derivatif dari setiap konstanta adalah nol, maka dalam mengintegralkan setiap fungsi turuna konstanta k tetap dalam bentuk k. artinya nilai konstanta tersebut tidak dengan sendirinya bisa diisi dengan bilangan tertentu (misalnya 5, dalam contoh tadi), kecuali jika didalam soal memang sudan ditentukan nilai konstantanya. Karena ketidaktentuan nilai konstanta itulah maka bentuk integral yang merupakan kebaliokan dari diferensial dinamakan integral tak tentu.
v Kaidah-kaidah Integrasi Tak Tentu
Karena integrasi tak tentu pada dasarnya merupakan kebalikan dari diferansiasi, maka kaidah-kaidah integasi tek tentu akan dapat dipahami berdasarkan pengetahuan tentang kaidah-kaidah diferansiasi.
Kaidah 1. Formula pangkat
∫ xn dx = xn+1 + k n ≠ -1
n + 1
contoh:
1) ∫ x4 dx = x4+1 + k = x5 + k
4 + 1 5
2) ∫ 4 dx = 4x0+1 = 4x + k
0 + 1
Kaidah 2. Formula logaritmis
∫ 1/x dx = ln x + k
contoh:
1) ∫ 3/x dx = 3 ln x + k
2) ∫ 3 = ∫ 3 d(x + 1) + k = 3 ln (x + 1) + k
x + 1 x + 1
Kaidah 3. Formula eksponensial
∫ ex dx = ex + k
∫ eu du = eu + k u = f(x)
contoh:
1) ∫ ex+2 dx = ∫ ex+2 d(x + 2) = ex+2 + k
2) ∫ e2x dx = ½ ∫ e2x d(2x) = ½ ∫e2x + k
Kaidah 4. Formula penjumlahan
∫ { f(x) + g(x) } dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
= F(x) + G(x) + k
contoh:
1) ∫ (x4 + 3x2) dx = ∫ x4 dx + ∫ 3x2 dx = 0,2 x5 + x3 + k
2) ∫ (ex + 1/x) dx = ∫ ex dx + ∫ 1/x dx = ex + ln x + k
Kaidah 5. Formula perkalian
∫ nf(x)dx = n ∫ f(x)dx n ≠ 0
contoh:
1) ∫ 3x2 dx = 3 ∫ x2 dx = 3 ( x2+1 + k ) = x3 + k
2+1
2) ∫ -x3 dx = -∫ x3 dx = - ( x3+1 + k ) = ¼ x4 ±
3+1
Kaidah 6. Formula substitusi
∫ f(u) du dx = ∫ f(u) du = F(u) + k
dx
dimana u = g(x), dan ∫ du merupakan substitut bagi ∫ dx
contoh:
1) Selesaikanlah ∫ 6x (3x2 – 10)dx
Penyelesaian:
Dengan cara substitusi, misalkan u = 3x2 - 10; maka du/dx = 6x, atau dx = du/6x. sehingga:
∫ 6x (3x2 – 10)dx = ∫ 6x u du/6x = ∫ u du = u2 /2 + k
= (3x2 – 10)2 + k
2
= ½ (9x4 – 60x2 + 100) + k
= 4,5 x 4 - 30x2 +50 + k
= 4,5 x 4 - 30x2 + k
dimana k + 50 + k
BAB II
MASALAH DAN PEMBAHASAN
A. MASALAH
Dalam dunia ekonomi, integral tak tentu ini sering digunakan dalam menyelesaikan masalah fungsi biya, fungsi penerimaan, fungsi utilitas, fungsi produksi serta fungsi konsumsi dan tabungan. Marilah kita lihat masalah seperti apa yang mungkin akan timbul dari masing-masing fungsi tersebut.
fungsi biaya
Contoh kasus:
Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q2 - 6Q + 4. Carilah persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya.
fungsi penerimaan
Contoh kasus:
Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan jika penerimaan marjinalnya MR = 16 – 4Q
fungsi utilitas
Contoh kasus:
Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marjinalnya MU = 90 – 10Q
fungsi produksi
Contoh kasus:
Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh MP = 18x – 3x2 . carilah persamaa produk total dan produk rata-ratanya.
fungsi konsumsi dan tabungan
Contoh kasus:
carilah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat sebuah negara jika diketahui outonomous consumption-nya sebesar 30 milyar dan MPC = 0,8.
B. PEMBAHASAN
Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila fungsi marjinalnya diketahui. Karena fungsi marjinal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya, yakni integrasi, dapatlah dicari fungsi asal dari fungsi tersebut atau fungsi totalnya.
Fungsi biaya
Biaya total C = f(Q)
Biaya marjinal : MC = C1 = dC/dQ = f1 (Q)
Biaya total tak lain adalah integrasi dari niaya marjinal
C = ∫ MC dQ = ∫ f1 (Q) dQ
Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Biya total : C = ∫ MCdQ
= ∫ (3Q2 - 6Q + 4.) dQ
= Q3 - 3Q2 + 4Q + k
Biaya rata-rata : C/Q = Q3 - 3Q2 + 4Q + k/Q
Konstanta k tak lain adalah biaya tetap. Jika diketahui biaya tetap tersebut adalah 4, maka:
C = Q3 - 3Q2 + 4Q + 4
AC = Q3 - 3Q2 + 4Q + 4/Q
Fungsi Penerimaan
Penerimaan total : R = f(Q)
Penerimaan marjinal : MR = R1 = dR/dQ = f1 (Q)
Penerimaan total tak lain adalah integral dari penerimaan marjinal
R = ∫ MR dQ = ∫ f1 (Q) Dq
Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Penerimaan total : R = ∫ MR dQ
= ∫ (16 – 4Q) dQ
= 16Q – 2Q2
Penerimaan rata-rata : AR = R/Q = 16 – 2Q
Dalam persamaan penerimaan total konstanta k = 0, sebab penerimaan tidak akan ada jika tak ada barang yang dihasilkan atau terjual.
Fungsi Utilitas
Utilitas total : U = f(Q)
Utilitas marjinal : MU = U1 = dU/dQ = f1 (Q)
Utilitas total tak lain adalah integral dari utilitas marjinal
U = ∫ MU dQ = f1 (Q) dQ
Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Utilitas total: U = ∫ MU dQ
= ∫ (90 – 10Q) dQ
= 90Q – 5Q2
Seperti halnya produk total dan penerimaan total, disinipun konstanta k = 0, sebab tak ada kepuasan atau utilitas yang diperoleh seseorang jika tak ada barang yang dikonsumsi.
d. Fungsi Produksi
Produsi total :P = f(x) dimana.
P = keluaran; x = masukan
Produk marjinal : MP = P1 = dP/dX = f1 (x)
Produk total tak lain adalah integral dari produk marjinal
P = ∫ MPdX = ∫ f1 (x) dX
Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Produk total : P = ∫ MPdX
= ∫ (18x – 3x2 ) dX
= 9x2 – x3
Produk rata-rata : AP = p/x = 9x – x2
e. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan
Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyataka fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).
C = f(Y) = a + By
MPC = C 1 = dC/dY = f 1 (Y) = b
Karena Y = C + S, maka
S = g(y) = -a + (1 – b) Y
MPS = S1 = dS/dY = g 1 (Y) = (1 – b)
Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi da tabungan masing-masing adalah integral dari marginal propensity to consume dan marginal propensity to save.
C = ∫ MPC dY = F(Y) + k k ≡ a
S = ∫ MPS dY = G(Y) + k k ≡ -a
Konstanta k pada fungsi produksi da fungsi tabungan masing-masing adalah outonomous consumption dan outonomous saving.
Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
C = ∫ MPC dY = ∫ 0,8 Y + 30 milyar.
S = ∫ MPS dY = ∫ 0,2 Y – 30 milyar.
Atau S = Y – C = Y – (0,8 Y – 30 milyar) = 0,2Y – 30 milyar.
Senin, 19 November 2007
tAnYa kEnApa?
INSPIRASI
Kenapa ya…????? Qo bisa ada materi pelajaran tentang bentuk pangkat???????
Begini ceritanya……
Kalian tentu sering mendengar kata “pangkat”.bentuk pangkat dapat digunakan untuk memudahkan penulisan bilangan-bilangan yang sangat besar atau sangat kecil. Misalkan, kita tidak mungkin menuliskan angka 253.000.000.000.000 ke bentuk sebenarnya karena angka tersebut tertlalu besar. Lalu bagaiman amembuat angka tersebut menjadi bentuk yang lebih sederhana sehingga mudah diingat bagi orang yang membacanya? Inilah salah satu kegunaan bentuk pangkat, kalian dapat menulis angka 253.000.000.000.000 ke bentuk 2,53 x 1014.
Salah satu contoh bilanagn lain yang sangat besar adalah bilangan avogadro, yaitu sebesar 602.000.000.000.000.000.000.000. biloangan avogadro ditemukan oleh seorang ilmuan Jerman yang bernama Johann Loschmidh pad tahun 1865.bilangan in menyatakan bahwa satu mol adalah jumlah atim dalam 12 gram karbon. Karena terlalu besar maka bioangan ini dijadikan ke bentuk pangkat. Dapatkah kalian menuliskannya? Bilangan in dapat diubah ke bentuk 6,02 x 1023. meskipun bilangan in ditemukan oleh Loschmidh, tetapi karena yang mula-mula menyatakan perlunya satuan jumlah bagi atom dan molekul adalah Amedeo Avogadro, maka bilangan in dinamakan bilangan Avogadro.
Contoh bilangan yang sangat kecil yagn dapat dinyatakan sebagai bilangan berpangkat adalah massa dari satu elektron, yaitu sebesar 0,000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.911 kg. Sangat kecil, bukan? Kalian tidak mungkin selalu menuliskan bilangan ini ketika kalian menjawab soal yang memerlukan massa elektron sebagai penyelesaian. Tentu saja bilangan ini harus diubah. Dapatkah kalian menuliskannya? Massa elektron dalam bentuk pangkat adalah sebesar 9,11 x 10-31 kg. menurut kalian, mana bentuk penuliasn yang mudah?
Kemudian, bagaimana jika bilangan-bilangan yang sangat besar itu ketika dioperasikan, seperti dikali atau dibagi, apakah sulit? Ternyata tidak, karena pengkat memiliki sifat-sifat tertentu yang dapat memudahkan kita dalam melakukan perhitungan. Untuk mengetahuai sifat-sifat apa saja dan bagaimana mengoperasikannya, kalian dapat membahasnya lebih mendalam pada pokok bahasan bentuk pangkat.
Kenapa ya…????? Qo bisa ada materi pelajaran tentang bentuk pangkat???????
Begini ceritanya……
Kalian tentu sering mendengar kata “pangkat”.bentuk pangkat dapat digunakan untuk memudahkan penulisan bilangan-bilangan yang sangat besar atau sangat kecil. Misalkan, kita tidak mungkin menuliskan angka 253.000.000.000.000 ke bentuk sebenarnya karena angka tersebut tertlalu besar. Lalu bagaiman amembuat angka tersebut menjadi bentuk yang lebih sederhana sehingga mudah diingat bagi orang yang membacanya? Inilah salah satu kegunaan bentuk pangkat, kalian dapat menulis angka 253.000.000.000.000 ke bentuk 2,53 x 1014.
Salah satu contoh bilanagn lain yang sangat besar adalah bilangan avogadro, yaitu sebesar 602.000.000.000.000.000.000.000. biloangan avogadro ditemukan oleh seorang ilmuan Jerman yang bernama Johann Loschmidh pad tahun 1865.bilangan in menyatakan bahwa satu mol adalah jumlah atim dalam 12 gram karbon. Karena terlalu besar maka bioangan ini dijadikan ke bentuk pangkat. Dapatkah kalian menuliskannya? Bilangan in dapat diubah ke bentuk 6,02 x 1023. meskipun bilangan in ditemukan oleh Loschmidh, tetapi karena yang mula-mula menyatakan perlunya satuan jumlah bagi atom dan molekul adalah Amedeo Avogadro, maka bilangan in dinamakan bilangan Avogadro.
Contoh bilangan yang sangat kecil yagn dapat dinyatakan sebagai bilangan berpangkat adalah massa dari satu elektron, yaitu sebesar 0,000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.911 kg. Sangat kecil, bukan? Kalian tidak mungkin selalu menuliskan bilangan ini ketika kalian menjawab soal yang memerlukan massa elektron sebagai penyelesaian. Tentu saja bilangan ini harus diubah. Dapatkah kalian menuliskannya? Massa elektron dalam bentuk pangkat adalah sebesar 9,11 x 10-31 kg. menurut kalian, mana bentuk penuliasn yang mudah?
Kemudian, bagaimana jika bilangan-bilangan yang sangat besar itu ketika dioperasikan, seperti dikali atau dibagi, apakah sulit? Ternyata tidak, karena pengkat memiliki sifat-sifat tertentu yang dapat memudahkan kita dalam melakukan perhitungan. Untuk mengetahuai sifat-sifat apa saja dan bagaimana mengoperasikannya, kalian dapat membahasnya lebih mendalam pada pokok bahasan bentuk pangkat.
8 jalur kesuksesan
8 JALUR KESUKSESAN
- Pikiran bukanlah sebuah wadah untuk diisi, melainkan api yang harus dinyalakan.
- Apa yang dicapai dalam praktek meditasi berminggu-minggu dapat dicapai dengan berfikir dalam beberapa menit.
- Untuk mempelajari ssuatu dengan cepat dan efektif, Anda harus mendengarnya, melihatnya, dan merasakannya.
- Jika Anda tidak mau menerima apapun kecuali yang terbaik, Anda akan sering mendapatkannya dalam hidup.
- Aset yang paling berharga dalam belajar adalah sikap positif.
- Kunci menuju sukses belajar dan bekerja adalah menemukan keunikan
- Satu-satunya pertanyaan bodoh adalah pertanyaan yang tidak Anda lontarkan.
- Kebanyakan orang gagal adalah orang yang tidak menyadari betapa dekatnya mereka ke titik sukses saat mereka memutuskan untuk menyerah. Padahal tak ada yang dapat diperoleh dengan menyerah, kecuali keterputusan dari kasih sayang Allah.
sejarawan
Apakah kalian pernah mendengar mengenai Aristotelas? Siapakah dia? Aristoteles adalah filosof besar pada abad 4 SM. Aristoteles dilahirkan di Stragira 384 SM. Untuk menyelesaikan pendidikannya Aristoteles pergi ke Athena dan menetap disana selama 20 tahun sebagai murid Plato.sepeninggal Plato ia mendirika sekolah di Assus. Salah satu karya Aristoteles adalah logika yang banyak berisi: pengertian, keputusan, pembuktian silogisme dan lain-lain. Inti ajaran Aristoteles mengenai logika adalah Sillogismus, yaitu keputusan kedua yang tersusun sedemikian hingga melahirkan keputusan yang ketiga. Logika yang dikemukakan oleh Aristoteles dikenal sebagai logika tradisional, yang menjadi tonggak pemikiran logika.
Perkembangan selanjutnya terjadi pada abad ke-18 Masehi, G. W. Leibniz, seorang ahli matematika berkebangsaan Jerman, pertama kali mempelajari logika simbolik. Ahli matematika lainya yang berjasa dalam perkembangan logika simbolik adalah George Boole, Leonard Euler, John Venn, dan Bertrand Russel.
Langganan:
Postingan (Atom)